快速幂取模算法

问题需求

求 a^b % c, 其中a，b的值可能很大，导致 a^b 的值long long都存不下

预备知识

• 模运算的性质：(a · b) mod c = [ (a mod c) · (b mod c) ] mod c
• · => 点乘，在这里就是指普通乘法云算法

实现思路

对于 a^b % c

1. 首先我们将b分解成如下表示

   b = b₀ + b₁ * 2¹ + ··· + b_n * 2ⁿ

   (其中的 b₀, b₁, ···, b_n 指的是对应b的二进制表示法中对应位置的取值，1或者0) => 比如：6 —> 110 => b₀ = 0, b₁ = 1, b₂ = 1

2. 则 a^b 可以表示成下面的形式

   a^b = a^b₀ * a^{b₁ * 21} * ··· * a^{b_n * 2n}

   => 令 a_i = a^{b_i * 2i}

   => 则：a^b = a₀ * a₁ * ··· * a_n

3. 运用上面提到的关于幂运算的性质 -> (a · b) mod c = [ (a mod c) · (b mod c) ] mod c

   则 a^b % c = ( (a₀ % c) * (a₁ % c) * ··· * (a_n % c ) ) % c

算法实现

int quickMod(int a, int b, int c){
  int ans = 1;
  a = a % c;   //所有项里面都有a，提取出来可统一先取模一下，减少计算量, 也可不加
  while(b != 0){
    if(b & 1)
      ans = (ans * a) % c;
    b >>= 1;
    a = (a * a) % c;
  }
  return ans;
}